AIが解く世界の難問 · 数学 · arXiv · 2026-10-20
完全非線形放物型方程式に対する深層確率的残差法
原題: Deep Stochastic Residual Methods for Fully Nonlinear Parabolic Equations
完全非線形放物型方程式の終端値問題に対し、二次の確率的残差を用いるニューラルネットワーク手法を開発・解析した。この残差により、空間微分のみを含む損失とスカラーのネットワークによる大域学習や後退回帰が可能になり、損失や時間刻みから値・勾配・ヘシアンの誤差を評価した。10次元の後退回帰テストでは二次残差による平均相対ヘシアン誤差は5〜6%で一階残差の約15%を大きく下回り、調整した後退回帰は物理情報ニューラルネットワークに匹敵するヘシアン精度を達成した。