AIが解く世界の難問 · 数学 · arXiv · 2026-10-21
残差は小さいが値は誤り：PINNによるHamilton-Jacobi-Isaacs方程式の粘性解の学習
原題: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
PINNなどの残差訓練ソルバーはサンプリングしたPDE残差の大きさで解を評価するが、一次のHamilton-Jacobi方程式では、残差が小さくても粘性解とはO(1)異なる解が存在しうる。値関数が閉形式で既知の追跡回避ゲームを題材に、4種類のネットワークパラメータ化を3つの幾何で各10シード、計120回訓練した結果、周期Fourier特徴を持つ標準的なネットワークは30回すべてで折りたたまれた解に収束し、残差は小さいのに値が領域の大部分で誤ったものとなった。測地距離を入力するパラメータ化は粘性解の回復に大幅に優れ、さらに粘性解の半凹性を用いた前方評価のみのメッシュフリー差分検定により、正確な値関数なしに折りたたまれた解などの失敗を検出できることを示した。