AIが解く世界の難問 · 物理学 · arXiv · 2026-10-21
1次元のソリトンプロファイル：強化されたニューラルネットワークソルバーと制約付きDeep Ritz法
原題: Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods
非線形シュレーディンガー方程式、一般化KdV方程式、非線形Klein-Gordon方程式に共通する定常プロファイル方程式の1次元基底状態解を対象に、強化したニューラルネットワークソルバーを開発・比較した。Adamで訓練する標準的なPINNを基準に、Gauss-Newton/Levenberg-MarquardtやL-BFGSによる高次最適化、Fourier特徴PINN、さらにNehari制約とWeinstein商という古典的変分特性を実装した2つの新しい制約付きDeep Ritz法を評価した。Deep Ritz法が全体的に最も優れ、特にWeinstein版が誤差と実行時間のバランスに優れた一方、1次元では依然として古典的なPetviashvili反復に精度・効率で及ばず、メッシュフリー性や厳密なプロファイルへの非依存性から、高次元やより複雑な非線形性への適用が有望な概念実証となった。