AIが解く世界の難問 · 数学 · arXiv · 2026-10-21
楕円ディリクレ問題を解く境界適合型PINNに対するH²(Ω)事前誤差評価
原題: $H^2(\Omega)$ A Priori Error Bounds for Boundary-Adapted PINNs Solving Elliptic Dirichlet Problems
一様楕円的なディリクレ境界値問題を、ユーザー定義の境界距離近似ρとの積で境界条件を厳密に満たすニューラルネットワークの仮説空間上でPDE残差を最小化して解く手法を研究した。ρに対する鋭い十分条件を特定し、平滑な領域に対する実際的な構成を与えたうえで、境界適合型ReQUネットワークとtanhネットワークに対してH²(Ω)の高確率収束レートを明示的に導出した。数値実験では、適切なρの選択が精度と収束を改善する一方、不適切な距離関数は解を大幅に劣化させることが確認された。