AIが解く世界の難問 · 数学 · arXiv · 2026-10-23
Monge–Ampère方程式のための凸平衡ポテンシャル：曲率境界と事後評価
原題: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
平衡ニューラルネットワークを完全非線形偏微分方程式（Monge–Ampère方程式）に使う際、二階微分が有効深さとともに増大することと、ポテンシャルの評価が近似的にしか行えないことが問題となる。非負softplus型の凸な平衡ネットワークについて、ヘッセ行列の増大が従来の(1-q)^-3ではなく(1-q)^-2で抑えられ、その指数が鋭いことを一つのニューロンからなる例で示した。残差に基づく事後評価と区間演算を組み合わせ、単位円板上の二つの境界値問題で訓練した6モデルについて残差0.25未満、境界誤差0.01未満の厳密な上界を与えた。適応的な停止は倍精度の評価時間を最大で半分にするが、認証付きの適応評価は固定深度より高コストである。