AI और दुनिया की कठिन समस्याएँ · गणित · arXiv · 2026-10-20

पूर्णतः अरैखिक पैराबॉलिक समीकरणों के लिए डीप स्टोकेस्टिक रेज़िड्यूअल विधियाँ

मूल शीर्षक: Deep Stochastic Residual Methods for Fully Nonlinear Parabolic Equations

पूर्णतः अरैखिक पैराबॉलिक टर्मिनल समस्याओं के लिए सटीक डिफ्यूज़न सैंपलिंग के अंतर्गत लेखक न्यूरल स्टोकैस्टिक अवशेष विधियों का विकास और विश्लेषण करते हैं। एक द्विघात स्टोकैस्टिक अवशेष अदिश नेटवर्क और केवल स्पैटियल डेरिवेटिव शामिल करने वाले लॉस के साथ ग्लोबल ट्रेनिंग और बैकवर्ड रिग्रेशन को सक्षम बनाता है, और अवशेष मानक के साथ-साथ मान, ग्रेडिएंट तथा हेसियन त्रुटियाँ लॉस और समय चरण के संदर्भ में परिबद्ध होती हैं। दस-विमीय बैकवर्ड-रिग्रेशन परीक्षणों में, द्विघात अवशेष के साथ औसत सापेक्षिक हेसियन त्रुटि 5–6% थी, जबकि प्रथम-कोटि अवशेष के साथ लगभग 15% थी, और समायोजित (tuned) बैकवर्ड रिग्रेशन ने physics-informed neural networks के तुलनीय हेसियन सटीकता प्राप्त की।

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