AI और दुनिया की कठिन समस्याएँ · गणित · arXiv · 2026-10-21

कम रेज़िडुअल, ग़लत मान: PINNs के साथ Hamilton-Jacobi-Isaacs समीकरणों का विस्कॉसिटी हल सीखना

मूल शीर्षक: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs

फिजिक्स-इनफॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क उम्मीदवार हलों का निर्णय उनके नमूनित PDE अवशिष्ट के आकार के आधार पर करते हैं, लेकिन प्रथम-कोटि हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के लिए वही समीकरण और सीमा आँकड़े ऐसे हलों को स्वीकार करते हैं जो विस्कॉसिटी हल से O(1) तक भिन्न होते हैं, जबकि वे केवल माप-शून्य समुच्चयों पर ही समीकरण का उल्लंघन करते हैं। वृत्त और चपटे टोराई पर संवृत-रूप मूल्य फलन वाले एक पीछा-बचाव खेल में, आवर्ती फूरियर फीचर वाले एक मानक नेटवर्क ने अपनी सभी 30 रनों में मुड़े हुए लगभग-सर्वत्र हलों तक अभिसरण किया — छोटे अवशिष्ट, परंतु डोमेन के अधिकांश भाग पर गलत मूल्य — जबकि जियोडेसिक दूरी दी गई पैरामीटराइज़ेशन ने विस्कॉसिटी हल को पुनः प्राप्त किया, उनमें से एक ने अपनी सभी 30 रनों में। विस्कॉसिटी हल की अर्ध-अवतलता का उपयोग करते हुए लेखक एक ऐसा मेश-रहित परिमित-अंतर परीक्षण भी बनाते हैं जिसमें केवल फॉरवर्ड नेटवर्क मूल्यांकनों की आवश्यकता होती है, और जो सटीक मूल्य फलन तक पहुँच के बिना मुड़े हुए हलों और अन्य विफलताओं का पता लगाता है।

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