AI और दुनिया की कठिन समस्याएँ · गणित · arXiv · 2026-10-20

सीमा समाकल समीकरणों के लिए एक बहुस्तरीय स्टोकेस्टिक-ग्रेडिएंट न्यूरल सॉल्वर

मूल शीर्षक: A multilevel stochastic-gradient neural solver for boundary integral equations

पेपर MLSG प्रस्तावित करता है, जो द्वितीय-प्रकार की बाउंड्री इंटीग्रल समीकरणों के लिए एक मल्टीलेवल स्टोकैस्टिक-ग्रेडिएंट न्यूरल सॉल्वर है। एक न्यूरल नेटवर्क अज्ञात बाउंड्री घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है और क्रमिक रूप से परिष्कृत Nyström डिस्क्रेटाइज़ेशन के पदानुक्रम पर स्टोकैस्टिक अवशेष न्यूनीकरण द्वारा अनुकूलित किया जाता है, जिसमें प्रत्येक नया स्तर पिछले स्तर से warm-start किया जाता है। यह coarse-to-fine रणनीति गणनात्मक प्रयास को कम करने के लक्ष्य के साथ एक सतत, ग्रिड-स्वतंत्र घनत्व प्रतिनिधित्व बनाए रखती है, और दो तथा तीन विमाओं में Laplace/Poisson और Helmholtz समस्याओं पर, साथ ही R⁴ में एक हाइपरसर्फेस पर बाह्य Robin समस्या पर किए गए प्रयोग, मिलियन-स्तरीय डिस्क्रेटाइज़ेशन तक इस विधि का प्रदर्शन करते हैं।

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