AI और दुनिया की कठिन समस्याएँ · गणित · arXiv · 2026-10-23

मोंज–एम्पीयर के लिए उत्तल साम्य विभव: वक्रता सीमाएँ और पश्च-मूल्यांकन

मूल शीर्षक: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation

इक्विलिब्रियम न्यूरल नेटवर्क अपनी अवस्था को एक स्थिर बिंदु के रूप में परिभाषित करते हैं, जिससे मोंज–एम्पीयर जैसे पूर्णतः अरैखिक PDE के लिए द्वितीय-अवकलज वृद्धि और अनुमानित मूल्यांकन की समस्याएँ उत्पन्न होती हैं। लेखक दिखाते हैं कि ऐसे नेटवर्कों के एक उत्तल वर्ग के लिए हेसियन अधिकतम (1−q)^−3 के बजाय (1−q)^−2 की तरह बढ़ता है, और यह घातांक तीक्ष्ण है; वे अवशेष-आधारित पश्च अनुमानों को इंटरवल अंकगणित के साथ जोड़ते हैं। यूनिट डिस्क पर दो निर्मित डिरिक्ले समस्याओं में, सभी छह प्रशिक्षित मॉडल 0.25 से कम अवशेष और 0.01 से कम सीमा त्रुटि के साथ प्रमाणित हुए, जबकि अनुकूली रोक अधिकतम float64 मूल्यांकन समय को आधा करती है और प्रमाणित अनुकूली मूल्यांकन स्थिर गहराई से अधिक खर्चीला है।

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