AI এবং বিশ্বের কঠিন সমস্যাগুলো · গণিত · arXiv · 2026-10-21

কম রেসিডুয়াল, ভুল মান: PINNs দিয়ে Hamilton-Jacobi-Isaacs সমীকরণের ভিসকোসিটি সমাধান শেখা

মূল শিরোনাম: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs

ফিজিক্স-ইনফর্মড নিউরাল নেটওয়ার্ক প্রার্থী সমাধানগুলিকে তাদের স্যাম্পলকৃত PDE রেসিডুয়ালের মানের ভিত্তিতে মূল্যায়ন করে, কিন্তু প্রথম-ক্রমের হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণের ক্ষেত্রে একই সমীকরণ ও সীমানা-উপাত্ত এমন সমাধানকেও অনুমতি দেয়, যা সান্দ্রতা সমাধান থেকে O(1) পরিমাণে আলাদা হতে পারে, অথচ সমীকরণ লঙ্ঘন করে কেবল মাপশূন্য সেটে। বৃত্ত ও ফ্ল্যাট টোরাসে ক্লোজড-ফর্ম ভ্যালু ফাংশনসহ একটি পারস্যুট-ইভেশন গেমে, পিরিয়ডিক ফুরিয়ার ফিচারসহ একটি স্ট্যান্ডার্ড নেটওয়ার্ক তার মোট 30টি রানের প্রতিটিতেই ভাঁজ করা প্রায়-সর্বত্র সমাধানে রূপান্তরিত হয়েছে — ছোট রেসিডুয়াল, কিন্তু ডোমেইনের বেশিরভাগ অংশে ভুল মান — অন্যদিকে জিওডেসিক দূরত্ব দেওয়া প্যারামিটারাইজেশনগুলি সান্দ্রতা সমাধানটি পুনরুদ্ধার করেছে, যার মধ্যে একটি তার সব 30টি রানেই তা করেছে। সান্দ্রতা সমাধানের সেমিকনকেভিটি ব্যবহার করে লেখকেরা এমন একটি মেশ-মুক্ত ফাইনাইট-ডিফরেন্স পরীক্ষাও নির্মাণ করেছেন যাতে কেবল ফরওয়ার্ড নেটওয়ার্ক মূল্যায়নের প্রয়োজন হয় এবং যা সঠিক ভ্যালু ফাংশনে প্রবেশাধিকার ছাড়াই ভাঁজ করা সমাধানগুলি ও অন্যান্য ব্যর্থতা শনাক্ত করে।

মূল লেখা পড়ুন ↗

সব আইটেম →