AI 與世界的難題 · 數學 · arXiv · 2026-10-21
低殘差、錯誤的值：以 PINNs 學習 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程式的黏性解
原標題: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
物理資訊神經網路以其取樣到的 PDE 殘差大小來評判候選解，但對於一階 Hamilton-Jacobi 方程式，同一條方程式與邊界資料可能容許與黏性解相差 O(1) 的解，而這些解僅在測度為零的集合上違反方程式。在一個於圓與平坦環面上具有閉形式值函數的追逃賽局中，具週期性 Fourier 特徵的標準網路在其全部 30 次執行中都收斂到摺疊的幾乎處處解——殘差雖小，但在大部分定義域上數值錯誤——而輸入測地距離的參數化方式則恢復了黏性解，其中一種在其全部 30 次執行中都成功。作者亦利用黏性解的半凹性，建立一個僅需網路前向評估的無網格有限差分檢驗，能在無法取得精確值函數的情況下偵測出摺疊解與其他失敗情況。