AI 與世界的難題 · 物理學 · arXiv · 2026-10-21
一維孤子剖面：增強型神經網路求解器與受約束的 Deep Ritz 方法
原標題: Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods
作者們針對非線性薛丁格方程式、廣義 Korteweg-de Vries 方程式與非線性 Klein-Gordon 方程式背後的穩態方程式之一維基態剖面，開發並比較多種強化的神經網路求解器，並以顯式 sech 型解作為誤差與超參數選擇的精確參考基準。在以 Adam 訓練的標準 PINN 基線之外，他們再加入更高階的 Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt 與 L-BFGS 精煉方法、傅立葉特徵 PINN，以及兩種新的受限 Deep Ritz 形式化方法，分別實作古典的 Nehari 約束與 Weinstein 商。Deep Ritz 方法整體表現最佳，其中 Weinstein 變體在誤差與執行時間之間取得最佳平衡，但神經網路求解器在一維情況下的準確度與效率仍不及古典的 Petviashvili 迭代法，使這項研究成為邁向更高維度與更複雜非線性問題的概念驗證。