AI 與世界的難題 · 數學 · arXiv · 2026-10-21
$H^2(\Omega)$ 求解橢圓 Dirichlet 問題之邊界調適型 PINN 的先驗誤差界限
原標題: $H^2(\Omega)$ A Priori Error Bounds for Boundary-Adapted PINNs Solving Elliptic Dirichlet Problems
本研究探討一致橢圓狄利克雷邊界值問題的數值解，作法是在神經網路上最小化 PDE 殘差，並透過乘上一個使用者定義的邊界距離近似 ρ，使網路精確滿足邊界條件。作者找出 ρ 上的一個尖銳充分條件，可保留 H²(Ω) 誤差控制所需的正則性，並針對一般光滑區域給出實用的構造方式，且為邊界調適的 ReQU 與 tanh 網路推導出明確的高機率 H²(Ω) 收斂速率。數值實驗支持該理論，顯示適當選擇 ρ 能改善精度與收斂性，而不當選擇的距離函數則會使解大幅劣化。