AI 與世界的難題 · 數學 · arXiv · 2026-10-23
Monge--Ampère方程的凸平衡位勢:曲率界限與後驗評估
原標題: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
平衡神經網路將其狀態定義為不動點,這為Monge–Ampère等完全非線性偏微分方程帶來二階導數增長與近似評估的問題。作者證明,對於這類網路中的一個凸類別,Hessian矩陣的增長至多如(1−q)^−2,而非(1−q)^−3,且此指數是尖銳的;他們結合了基於殘差的後驗估計與區間算術。在單位圓盤上的兩個人造Dirichlet問題中,所有六個訓練完成的模型都經認證殘差低於0.25、邊界誤差低於0.01,而自適應停止最多只能將float64的評估時間減半,且經認證的自適應評估成本高於固定深度。