AI与世界难题 · 数学 · arXiv · 2026-10-21
低残差、错误的值：利用 PINN 学习哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的黏性解
原标题: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
物理信息神经网络依据采样得到的PDE残差大小来评判候选解，但对于一阶Hamilton-Jacobi方程，同一方程和边界数据可以容许与黏性解相差O(1)、却仅在零测度集合上违反方程的解。在一个在圆周和平坦环面上具有闭式值函数的追逃博弈中，带周期Fourier特征的标准网络在其全部30次运行中都收敛到了折叠的几乎处处解 — 残差很小，但在大部分定义域上数值错误 — 而以测地距离为输入的参数化方法则恢复了黏性解，其中一种在其全部30次运行中都是如此。利用黏性解的半凹性，作者还构建了一种仅需前向网络评估的无网格有限差分检验，它无需获得精确值函数即可检测出折叠解及其他失效情形。