AI与世界难题 · 数学 · arXiv · 2026-10-21
$H^2(\Omega)$ 求解椭圆狄利克雷问题的边界自适应 PINNs 的先验误差界
原标题: $H^2(\Omega)$ A Priori Error Bounds for Boundary-Adapted PINNs Solving Elliptic Dirichlet Problems
该研究针对一致椭圆型狄利克雷边值问题的数值求解，方法是在神经网络最小化 PDE 残差，这些网络通过乘以一个用户自定义的到边界距离近似 ρ 来精确满足边界条件。作者找出了关于 ρ 的一个尖锐充分条件，它能保持 H²(Ω) 误差控制所需的正则性，给出了一般光滑区域上的实用构造，并为边界适配的 ReQU 与 tanh 网络推导出显式的高概率 H²(Ω) 收敛速率。数值实验支持该理论，表明对 ρ 的恰当选取能提高精度与收敛性，而选取不当的距离函数则会使解显著变差。