AI与世界难题 · 数学 · arXiv · 2026-10-23
Monge--Ampère方程的凸平衡势：曲率界与后验评估
原标题: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
平衡神经网络将其状态定义为不动点，这给Monge–Ampère等完全非线性偏微分方程带来了二阶导数增长和近似求值的问题。作者证明，对于这类网络中的一个凸类，Hessian矩阵至多以(1−q)^−2而非(1−q)^−3的速度增长，且该指数是精确的；他们将基于残差的后验估计与区间算术相结合。在单位圆盘上的两个人为构造的Dirichlet问题中，所有六个训练好的模型均被证明残差低于0.25、边界误差低于0.01，而自适应停止最多只能将float64求值时间减半，且经认证的自适应求值比固定深度的成本更高。