ИИ и сложнейшие проблемы мира · Математика · arXiv · 2026-10-21
Малые невязки, неверное значение: обучение вязкостного решения уравнений Гамильтона — Якоби — Айзекса с помощью PINNs
Оригинальное название: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
Физически информированные нейронные сети оценивают решения-кандидаты по величине выборочной невязки ДУЧП, однако для уравнений Гамильтона–Якоби первого порядка одни и те же уравнение и граничные данные допускают решения, отличающиеся от вязкостного решения на O(1) и нарушающие уравнение лишь на множествах меры нуль. В игре преследования–уклонения с функцией цены, заданной в замкнутой форме, на окружности и плоских торах стандартная сеть с периодическими признаками Фурье во всех 30 своих запусках сходилась к «складчатым» решениям, верным почти всюду, — с малыми невязками, но неверными значениями на большей части области, — тогда как параметризации, получавшие на вход геодезическое расстояние, восстанавливали вязкостное решение, одна из них — во всех 30 своих запусках. Используя полувогнутость вязкостного решения, авторы также строят бессеточный конечно-разностный тест, требующий только прямых проходов сети; он выявляет «складчатые» решения и другие сбои без доступа к точной функции цены.