ИИ и сложнейшие проблемы мира · Математика · arXiv · 2026-10-21
$H^2(\Omega)$ априорные оценки погрешности для гранично-адаптированных PINN, решающих эллиптические задачи Дирихле
Оригинальное название: $H^2(\Omega)$ A Priori Error Bounds for Boundary-Adapted PINNs Solving Elliptic Dirichlet Problems
Исследование посвящено численному решению равномерно эллиптических краевых задач Дирихле путём минимизации невязки ДУЧП по нейронным сетям, которые точно удовлетворяют граничным условиям за счёт умножения на задаваемую пользователем аппроксимацию ρ расстояния до границы. Авторы устанавливают острое достаточное условие на ρ, сохраняющее регулярность, необходимую для контроля ошибки в H²(Ω), приводят практические конструкции для общих гладких областей и выводят явные скорости сходимости в H²(Ω) с высокой вероятностью для адаптированных к границе сетей ReQU и tanh. Численные эксперименты подтверждают теорию, показывая, что подходящий выбор ρ улучшает точность и сходимость, тогда как неудачно выбранные функции расстояния существенно ухудшают решение.