ИИ и сложнейшие проблемы мира · Математика · arXiv · 2026-10-23
Выпуклые равновесные потенциалы для уравнения Монжа—Ампера: оценки кривизны и апостериорная оценка
Оригинальное название: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
Равновесные нейронные сети определяют своё состояние как неподвижную точку, что приводит к росту вторых производных и проблемам приближённого вычисления для полностью нелинейных УЧП, таких как уравнение Монжа–Ампера. Авторы показывают, что для выпуклого класса таких сетей гессиан растёт не быстрее (1−q)^−2, а не (1−q)^−3, и что этот показатель точен; они сочетают апостериорные оценки на основе невязки с интервальной арифметикой. На двух искусственно построенных задачах Дирихле в единичном круге все шесть обученных моделей были сертифицированы с невязкой ниже 0,25 и ошибкой на границе ниже 0,01, при этом адаптивная остановка в лучшем случае вдвое сокращает время вычисления во float64, а сертифицированное адаптивное вычисление обходится дороже, чем вычисление с фиксированной глубиной.