IA e os Problemas Difíceis do Mundo · Matemática · arXiv · 2026-10-23
Potenciais de equilíbrio convexos para Monge--Amp\`ere: limites de curvatura e avaliação a posteriori
Título original: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
Redes neurais de equilíbrio definem seu estado como um ponto fixo, o que levanta problemas de crescimento da segunda derivada e de avaliação aproximada para EDPs totalmente não lineares, como a de Monge–Ampère. Os autores mostram que, para uma classe convexa dessas redes, a Hessiana cresce no máximo como (1−q)^−2 em vez de (1−q)^−3, e que esse expoente é justo; eles combinam estimativas a posteriori baseadas em resíduo com aritmética de intervalos. Em dois problemas de Dirichlet fabricados no disco unitário, todos os seis modelos treinados foram certificados com resíduo abaixo de 0.25 e erro de contorno abaixo de 0.01, enquanto a parada adaptativa reduz o tempo de avaliação em float64 à metade, no melhor caso, e a avaliação adaptativa certificada custa mais do que a profundidade fixa.