AI dan Masalah-Masalah Sulit Dunia · Matematika · arXiv · 2026-10-21
Residual Rendah, Nilai yang Salah: Mempelajari Solusi Viskositas Persamaan Hamilton-Jacobi-Isaacs dengan PINNs
Judul asli: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
Physics-informed neural networks menilai solusi kandidat berdasarkan besarnya residu PDE hasil sampelnya, tetapi untuk persamaan Hamilton-Jacobi orde pertama, persamaan dan data batas yang sama mengizinkan solusi-solusi yang berbeda dari solusi viskositas sebesar O(1) sambil melanggar persamaan hanya pada himpunan berukuran nol. Dalam permainan pursuit-evasion dengan fungsi nilai berbentuk tertutup pada lingkaran dan torus datar, jaringan standar dengan fitur Fourier periodik konvergen ke solusi terlipat hampir-di-mana-mana dalam seluruh 30 kali percobaannya — residu kecil tetapi nilai salah pada sebagian besar domain — sementara parameterisasi yang diberi jarak geodesik memulihkan solusi viskositas, salah satunya dalam seluruh 30 kali percobaannya. Dengan menggunakan semikonkavitas solusi viskositas, para penulis juga membangun uji beda hingga bebas-mesh yang hanya membutuhkan evaluasi forward jaringan, yang mendeteksi solusi terlipat dan kegagalan lain tanpa akses ke fungsi nilai yang eksak.