L'IA face aux grands problèmes du monde · Mathématiques · arXiv · 2026-10-21
Faibles résidus, mauvaise valeur : apprendre la solution de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi-Isaacs avec les PINNs
Titre original: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
Les réseaux de neurones informés par la physique jugent les solutions candidates d'après l'ampleur de leur résidu d'EDP échantillonné, mais pour les équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre, une même équation et des données aux limites identiques admettent des solutions qui diffèrent de la solution de viscosité de O(1) tout en violant l'équation uniquement sur des ensembles de mesure nulle. Dans un jeu de poursuite-évasion doté d'une fonction valeur explicite sur le cercle et les tores plats, un réseau standard à caractéristiques de Fourier périodiques a convergé vers des solutions pliées presque partout dans les 30 exécutions — de faibles résidus mais des valeurs erronées sur la majeure partie du domaine — tandis que des paramétrisations nourries avec la distance géodésique ont retrouvé la solution de viscosité, l'une d'elles dans les 30 exécutions. En s'appuyant sur la semiconcavité de la solution de viscosité, les auteurs construisent également un test aux différences finies sans maillage ne nécessitant que des évaluations avant du réseau, qui détecte les solutions pliées et d'autres défaillances sans accès à la fonction valeur exacte.