L'IA face aux grands problèmes du monde · Mathématiques · arXiv · 2026-10-23
Potentiels d'équilibre convexes pour Monge--Amp\`ere : bornes de courbure et évaluation a posteriori
Titre original: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
Les réseaux de neurones d'équilibre définissent leur état comme un point fixe, ce qui soulève des problèmes de croissance des dérivées secondes et d'évaluation approximative pour les EDP totalement non linéaires telles que Monge–Ampère. Les auteurs montrent que, pour une classe convexe de tels réseaux, le hessien croît au plus comme (1−q)^−2 plutôt que (1−q)^−3, et que cet exposant est optimal ; ils combinent des estimations a posteriori fondées sur le résidu avec l'arithmétique d'intervalles. Sur deux problèmes de Dirichlet fabriqués sur le disque unité, les six modèles entraînés ont tous été certifiés avec un résidu inférieur à 0.25 et une erreur au bord inférieure à 0.01, tandis que l'arrêt adaptatif réduit au mieux de moitié le temps d'évaluation en float64 et que l'évaluation adaptative certifiée coûte plus cher qu'une profondeur fixe.