La IA y los problemas difíciles del mundo · Matemáticas · arXiv · 2026-10-21
Residuos bajos, valor incorrecto: aprendizaje de la solución de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Isaacs con PINNs
Título original: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
Las redes neuronales informadas por la física juzgan las soluciones candidatas por el tamaño de su residual muestreado de la EDP, pero para las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de primer orden la misma ecuación y los datos de frontera admiten soluciones que difieren de la solución de viscosidad en O(1) mientras violan la ecuación solo en conjuntos de medida nula. En un juego de persecución-evasión con una función de valor en forma cerrada en el círculo y los toros planos, una red estándar con características periódicas de Fourier convergió a soluciones plegadas casi en todas partes en las 30 ejecuciones — residuos pequeños pero valores erróneos en la mayor parte del dominio — mientras que las parametrizaciones a las que se proporcionó la distancia geodésica recuperaron la solución de viscosidad, una de ellas en las 30 ejecuciones. Usando la semiconcavidad de la solución de viscosidad, los autores también construyen una prueba de diferencias finitas sin malla que requiere solo evaluaciones hacia adelante de la red, la cual detecta las soluciones plegadas y otros fallos sin acceso a la función de valor exacta.