La IA y los problemas difíciles del mundo · Matemáticas · arXiv · 2026-10-23
Potenciales de equilibrio convexos para Monge--Amp\`ere: cotas de curvatura y evaluación a posteriori
Título original: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
Las redes neuronales de equilibrio definen su estado como un punto fijo, lo que plantea problemas de crecimiento de la segunda derivada y de evaluación aproximada en EDP totalmente no lineales como Monge–Ampère. Los autores demuestran que, para una clase convexa de dichas redes, el hessiano crece como máximo como (1−q)^−2 en lugar de (1−q)^−3, y que este exponente es óptimo; combinan estimaciones a posteriori basadas en residuos con aritmética de intervalos. En dos problemas de Dirichlet fabricados sobre el disco unidad, los seis modelos entrenados fueron certificados con residuo inferior a 0.25 y error de frontera inferior a 0.01, mientras que la parada adaptativa reduce a la mitad, en el mejor de los casos, el tiempo de evaluación en float64 y la evaluación adaptativa certificada cuesta más que la profundidad fija.