KI und die schwierigen Probleme der Welt · Mathematik · arXiv · 2026-10-20
Tiefe stochastische Residuenmethoden für vollständig nichtlineare parabolische Gleichungen
Originaltitel: Deep Stochastic Residual Methods for Fully Nonlinear Parabolic Equations
Die Autoren entwickeln und analysieren neuronale stochastische Residuenmethoden für voll nichtlineare parabolische Terminalwertprobleme unter exaktem Diffusionssampling. Ein quadratisches stochastisches Residuum ermöglicht globales Training und Backward-Regression mit skalaren Netzwerken und Verlustfunktionen, die nur räumliche Ableitungen einbeziehen, und die Residuennorm sowie Wert-, Gradienten- und Hesse-Fehler werden in Abhängigkeit von den Verlustfunktionen und der Zeitschrittweite beschränkt. In zehndimensionalen Backward-Regressionstests betrugen die mittleren relativen Hesse-Fehler mit dem quadratischen Residuum 5–6% gegenüber etwa 15% mit dem Residuum erster Ordnung, und eine abgestimmte Backward-Regression erreichte eine Hesse-Genauigkeit, die mit physikinformierten neuronalen Netzen vergleichbar ist.