KI und die schwierigen Probleme der Welt · Mathematik · arXiv · 2026-10-21
Niedrige Residuen, falscher Wert: Erlernen der Viskositätslösung von Hamilton-Jacobi-Isaacs-Gleichungen mit PINNs
Originaltitel: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
Physics-informed neural networks beurteilen Kandidatenlösungen anhand der Größe ihres gesampelten PDE-Residuums, doch für Hamilton-Jacobi-Gleichungen erster Ordnung besitzen dieselbe Gleichung und dieselben Randdaten Lösungen, die um O(1) von der Viskositätslösung abweichen, während sie die Gleichung nur auf Mengen vom Maß null verletzen. In einem Verfolgungs-und-Evasion-Spiel mit in geschlossener Form vorliegender Wertfunktion auf dem Kreis und flachen Tori konvergierte ein Standardnetzwerk mit periodischen Fourier-Features in allen 30 Läufen zu gefalteten, fast überall gültigen Lösungen — kleine Residuen, aber falsche Werte auf dem Großteil des Gebiets —, während Parametrisierungen, denen die geodätische Distanz zugeführt wurde, die Viskositätslösung wiedererlangten, eine davon in allen 30 Läufen. Mithilfe der Semikonkavität der Viskositätslösung entwickeln die Autoren zudem einen gitterfreien Finite-Differenzen-Test, der lediglich Vorwärtsauswertungen des Netzwerks erfordert und die gefalteten Lösungen sowie anderes Fehlverhalten erkennt, ohne die exakte Wertfunktion zu benötigen.