KI und die schwierigen Probleme der Welt · Physik · arXiv · 2026-10-21
Solitonprofile in 1D: Verbesserte neuronale Netzwerk-Solver und Deep-Ritz-Methoden mit Nebenbedingungen
Originaltitel: Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods
Die Autoren entwickeln und vergleichen verbesserte neuronale Netzwerklöser für eindimensionale Grundzustandsprofile der stationären Gleichung, die den nichtlinearen Schrödinger-, der verallgemeinerten Korteweg-de-Vries- und der nichtlinearen Klein-Gordon-Gleichung zugrunde liegt, wobei explizite sech-artige Lösungen als exakte Referenzen für Fehler und Hyperparameterauswahl dienen. Über eine Standard-Adam-trainierte PINN-Baseline hinaus ergänzen sie Verfeinerungen höherer Ordnung mit Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt und L-BFGS, Fourier-Feature-PINNs sowie zwei neue constrained Deep-Ritz-Formulierungen, die die klassische Nehari-Bedingung und den Weinstein-Quotienten umsetzen. Die Deep-Ritz-Methoden schneiden insgesamt am besten ab, wobei die Weinstein-Variante die beste Balance zwischen Fehler und Laufzeit bietet, doch die neuronalen Löser bleiben weniger genau und effizient als die klassische Petviashvili-Iteration in 1D, wodurch die Studie ein Proof of Concept für höhere Dimensionen und kompliziertere Nichtlinearitäten ist.