KI und die schwierigen Probleme der Welt · Mathematik · arXiv · 2026-10-20
Ein mehrstufiger neuronaler Löser mit stochastischen Gradienten für Randintegralgleichungen
Originaltitel: A multilevel stochastic-gradient neural solver for boundary integral equations
Die Arbeit schlägt MLSG vor, einen neuronalen Mehrebenenlöser mit stochastischen Gradienten für Randintegralgleichungen zweiter Art. Ein neuronales Netzwerk repräsentiert die unbekannte Randdichte und wird durch die Minimierung stochastischer Residuen über einer Hierarchie sukzessive verfeinerter Nyström-Diskretisierungen optimiert, wobei jedes neue Level einen Warmstart aus dem vorherigen erhält. Diese Grob-zu-fein-Strategie bewahrt eine kontinuierliche, gitterunabhängige Dichtedarstellung und zielt dabei auf eine Verringerung des Rechenaufwands ab, und Experimente zu Laplace-/Poisson- und Helmholtz-Problemen in zwei und drei Dimensionen sowie ein äußeres Robin-Problem auf einer Hyperfläche im R⁴ demonstrieren die Methode bei Diskretisierungen bis hin zum Millionenmaßstab.