KI und die schwierigen Probleme der Welt · Mathematik · arXiv · 2026-10-23
Konvexe Gleichgewichtspotenziale für Monge--Amp\`ere: Krümmungsschranken und A-posteriori-Auswertung
Originaltitel: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Amp\`ere: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
Neuronale Gleichgewichtsnetzwerke definieren ihren Zustand als Fixpunkt, was bei vollständig nichtlinearen PDEs wie Monge–Ampère Probleme mit dem Wachstum zweiter Ableitungen und mit näherungsweiser Auswertung aufwirft. Die Autoren zeigen, dass für eine konvexe Klasse solcher Netzwerke die Hesse-Matrix höchstens wie (1−q)^−2 statt (1−q)^−3 wächst und dass dieser Exponent scharf ist; sie kombinieren residuumsbasierte A-posteriori-Abschätzungen mit Intervallarithmetik. Bei zwei konstruierten Dirichlet-Problemen auf der Einheitskreisscheibe wurden alle sechs trainierten Modelle mit einem Residuum unter 0.25 und einem Randfehler unter 0.01 zertifiziert, während adaptives Abbrechen die float64-Auswertungszeit bestenfalls halbiert und zertifizierte adaptive Auswertung mehr kostet als feste Tiefe.