KI und die schwierigen Probleme der Welt · Mathematik · arXiv · 2026-10-20
Strukturerhaltende Reduced-Order-Modellierung durch Transportsignaturen niedrigen Rangs
Originaltitel: Structure-Preserving Reduced-Order Modeling via Low-Rank Transport Signatures
Parametrisierte PDEs mit dichtewertigen Lösungen sind mit klassischen linearen Reduced-Order-Modellen schwer zu approximieren, insbesondere in transportdominierten Regimen. Die Autoren schlagen ein auf Optimaltransport basierendes Reduced-Order-Verfahren vor, das jede Dichte durch das Kantorovich-Potenzial darstellt, das eine feste Referenzdichte zum Ziel befördert, diese Potenziale als Transportsignaturen in einen Hilbert-Raum einbettet und ein neuronales Netz verwendet, um die Parameter-zu-Koeffizient-Abbildung über eine Niedrigrang-Skelettzerlegung zu lernen. Die Rekonstruktion durch Pushforward der Referenzdichte erhält Masse und Positivität per Konstruktion, mit bewiesener Schranke für den mittleren quadratischen Wasserstein-Fehler, und bei einer dichtewertigen Kontinuitätsgleichung und der Burgers-Gleichung liefern die Signaturen eine wesentlich niedrigere Rangstruktur als die ursprünglichen Dichte-Snapshots.